Στοχαστικός Λογισμός και Εφαρμογές στη Χρηματοοικονομία-Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις (Εαρινό 2012)
Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη 15:00-19:00 (Αίθουσα 001), Ν. Κτ. ΣΕΜΦΕ
Ώρες γραφείου: Δευτέρα 10:30-12:30 ή μετά από συνεννόηση.
ανακοινώσεις
Πέμπτη 15/3: Το σημερινό μάθημα αναβάλλεται και θα αναπληρωθεί κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Επόμενη συνάντηση την Τρίτη 20/3.
Παρασκευή 29/6: Την ερχόμενη Δευτέρα 2/6 θα γίνει έκτακτο μάθημα στην αίθουσα σεμιναρίων του Τομέα Μαθηματικών, Κτ. Ε 2ος όροφος, ώρα 2-5μμ. Θα συζητηθούν τυχόν απορίες και θα λυθούν ασκήσεις από προηγούμενα φυλλάδια.
στόχοι του μαθήματος
Στο μάθημα αυτό έχει σαν στόχο την εισαγωγή στη θεωρία στοχαστικών διαδικασιών με συνεχείς τροχιές, την εξοικείωση με την κίνηση Brown, την κατασκευή του στοχαστικού ολοκληρώματος Itô, και την ανάπτυξη της βασικής θεωρίας του στοχαστικού λογισμού και των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Επίσης, θα δούμε εφαρμογές αυτής της θεωρίας στην τιμολόγηση χρηματοοικονομικών παραγώγων στο υπόδειγμα Black και Scholes και σε στοχαστικά μοντέλα επιτοκίου.
διδακτικό υλικό
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ (στα αγγλικά)
-
1.Κατασκευή στοχαστικών διαδικασιών με το Θεώρημα επέκτασης του Kolmogorov (εδώ)
-
2. Kατασκευή της κίνησης Brown (εδώ)
-
3.Τα μοντέλα Vasicek και Hull&White για το επιτόκιο. (εδώ)
4. Στοχαστικός Λογισμός (Θανάση Γιαννακόπουλου) (εδώ)
ΦΥΛΛΑΔΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Φυλλάδιο Ι (παράδοση 1/5), Φυλλάδιο ΙΙ (παράδοση 15/6), Φυλλάδιο ΙΙΙ (παράδοση 14/7)
βιβλιογραφία
ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ
Στοχαστική Ανάλυση και Εφαρμογές στη Χρηματοοικονομίκή, Θανάσης Γιαννακόπουλος
Είναι ελεύθερα διαθέσιμο: Μέρος Ι, Μέρος ΙΙ
Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις, Ιωάννης Σπηλιώτης, Εκδ. Συμεών 2004
ΣΤΑ ΑΓΓΛΙΚΑ
Stochastic Differential Equations: an introduction with applications, B. Oksendal, Springer
Stochastic Calculus: A practical Introduction, Richard Durrett, CRC Press
Stochastic Integration and Differential Equations, Philip Protter, Springer
Brownian Motion and Stochastic Calculus, Ioannis Karatzas & S.E. Shreve
Continuous Martingales and Brownian Motion, Daniel Revuz & Marc Yor, Springer
ημερολόγιο μαθήματος
Τρίτη 13/3: Εισαγωγή, στόχοι του μαθήματος. Στοχαστικές διαδικασίες ιδωμένες σαν συλλογή τ.μ., σαν τυχαίες συναρτήσεις, σαν μέτρα πιθανότητας σε χώρους συναρτήσεων. Η σ-άλγεβρα του Kolmogorov.
Τρίτη 20/3: Μη διακρινόμενες σ.δ, τροποποίηση μιας σ.δ., ισόνομες σ.δ. Πεπερασμένης διάστασης κατανομές μιας σ.δ.
Πέμπτη 22/3: Κανονική αναπαράσταση μιας σ.δ., θεώρημα συνέπειας του Kolmogorov, πεπερασμένης διάστασης κατανομές της κίνησης Brown και κατασκευή της από το θεώρημα συνέπειας.
Τρίτη 27/3: Διηθήσεις, Martingales, super/sub-martingales, ορισμοί, παραδείγματα.
Πέμπτη 29/3: Ιδιότητες των martingales, ανισότητα του Doob, παραδείγματα.
Τρίτη 3/4: Χρόνοι διακοπής και οι αντίστοιχες σ-άλγεβρες. Θεώρημα επιλεκτικής στάσης, υπολογισμοί με τη χρήση του θεωρήματος επιλεκτικής στάσης.
Τρίτη 24/4: Ιδιότητες τροχιών της κινησης Brown: συνέχεια, τετραγωνική μεταβλητότητα, συμμετρίες κλίμακας και χρονικής αντιστροφής, νόμος των μεγάλων αριθμών, αρχή της ανάκλασης, κατανομή του τρέχοντος μεγίστου, 0-1 νόμος του Blumenthal,
Σάββατο 5/5: Κατασκευή του ολοκληρώματος Itô ως προς την κίνηση Brown, ιδιότητες, παραδείγματα.
Τρίτη 8/5: Το ολοκλήρωμα Itô ως προς τετραγωνικά ολοκληρώσιμα martingales, τετραγωνική μεταβλητότητα, συνδιακύμανση, ταυτότητα Kunita-Watanabe.
Τρίτη 15/5: Semimartingales, Ο κανόνας του Itô, παραδείγματα, το θεώρημα του P. Lévy για τον χαρακτηρισμό της κίνησης Brown.
Τρίτη 22/5: Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις, ύπαρξη, μοναδικότητα ισχυρής λύσης, παραδείγματα: εξισώσεις Black & Scholes και Ornstein-Uhlenbeck.
Τρίτη 29/5: Το μοντέλο των Black & Scholes, χρηματοοικονομικά παράγωγα, αυτοχρηματοδοτούμενα χαρτοφυλάκια, η αρχή του no arbitrage, ισοδύναμα μέτρα martingale, θεώρημα Cameron-Martin, τιμολόγηση ευρωπαϊκών δικαιωμάτων αγοράς/πώλησης.
Τρίτη 5/6: Τιμολόγηση “εξωτικών” δικαιωμάτων: δικαιώματα με φράγματα, look-back options. Η διαφορική εξίσωση των Black & Scholes.
Τρίτη 12/6: Παράγωγα του επιτοκίου, ομόλογα, επιτόκια περιόδου, στιγμιαίο επιτόκιο, μοντέλο Black, μοντέλο Vasicek, μοντέλο Hull-White.
Τρίτη 8/11: Μέτρα πιθανότητας- ορισμός, ιδιότητες, παραδείγματα.